2017年8月7日の記録
仕事が遅くまであって、終わってから日々のルーティーンをやろうとすると、何だかんだでこんな時間になってしまうのは分かっていたのに、やってしまった。まあ、解いたのは例のごとく日々のハイレベル演習（旧）問題8-7と、大学への数学8月号・日々の演習8-7だ。
やると誓ったことなのだからやるべきだが、明日に響かないように。少しでも長く睡眠を取ろうではないか。
とにかく今日はオナラが頻発する一日だった。たまにあるんだよな～。
何でだ！！
2017年8月4日の記録
2017年8月4日 金曜日。
今日は仕事が休み。金曜日が休みというのはとても久しぶり。
ちょっとボヤいてみるが、毎週、休みの曜日が変わり、勤務時間帯も日によってまちまちなので、私生活のリズムが整わず、苦しい日々が続いている。まあ、社内には「週休二日が実現できてるだけで十分でしょ」的な風潮があるので何も言うつもりはないけれど。
というわけで最近はブログを更新する元気もなく、日があいてしまったが、数学は毎日解いてきた。自分の安らぎにつながっているので外せない。思い出に残ったものの感想を記す。
＜高校への数学・日々のハイレベル演習（旧）＞ 問題8-1
高校数学で二変数関数と呼ばれるものの値域を求める問題。重要なのは二変数の関係性である。
・従属二変数：片方の変数の値が決まるともう片方の変数の値も自動的に決まる関係にある二変数のこと。つまり二変数の間に関係式がある。
・独立二変数：片方の変数の値が決まったところで、もう片方の変数は気兼ねなく好きな値をとることができる二変数のこと。
(ア) これは独立二変数関数。3/2<3/a<6 と -2<-2b<6 という二つの不等式を足し合わせて、-1/2<3/a-2b<12 とする。この間に整数は12個あるので答えは12個。
(イ)、(ウ) これらは従属二変数関数。従属二変数関数には変数間の関係式が与えられているので、一変数関数にすることができる。独立二変数よりも機械的で易しい。
ちなみに(ア)はこのままでは議論が粗すぎる印象あり。最高で12個なのは間違いないが、本当に12個すべてOKなのか？というわけで本当は 3/a-2b=N（N=0,1,…,11）を満たすa,bが存在するかどうかを調べる必要があると思う（いわゆる逆像法）。まあ、ここまでやると高校数学になってしまうので、模範解答では省かれているのだが。
＜高校への数学・日々のハイレベル演習（旧）＞ 問題8-3
(ア) 上に続き、三変数の問題。ただし関係式が二つあるので、実質一変数にできる。そこでy,zをxで表してやれば、与式＝(27/5)x と書ける。後はx,y,zが整数であるという条件を用いれば結論に至る。
(イ) きれいな問題。P=x/(x+1) , Q=y/(y+1) などとおいて PQ=4/7 を式変形。整数問題は「積の形＝定数」という変形を行うことが重要になるので、(3x-4)(3y-4)=28 という形までもっていければ解決となる。
＜大学への数学2017年8月号＞ 日々の演習8-4
指数×cos（循環あり）の形をした数列の和について。
(1) cosの部分が値の循環を起こしているので、各項の具体的な数値を確認していくと規則性が発生していることが多い。今回ははじめから6項分を足すと0になるという規則性が発生している。このことから S_50=a_49+a_50 と分かる。
(2) 6項での循環が分かっているので、S_n の n が 6k-5～6k のそれぞれでどのような式で表されるかを考えるのが自然。面倒くさいが解決はできる。
なお、指数×cos（循環あり）とか 指数×sin（循環あり）という形は極形式の n 乗との関連を疑うのも重要。今回の a_n=2^(n-1)cos{(n-1)/3}π であれば、α＝2(cosπ/3+isinπ/3) を n-1 乗したときの実部が a_n である、と見る。そうすれば、S_n は 1+α+α^2+…+α^(n-1) の実部であるということになる。これより S_n＝Re{1+α+α^2+…+α^(n-1)}＝Re{α^(n-1)-1/α-1} として一気に計算することができる。6で割った余りに応じた場合分けが不要なわけだ。ちなみに |S_n| は n が3の倍数のとき0、3の倍数でないとき 2^(n-1) となる。めちゃくちゃきれいな式！！
今日は以上。明日も朝早い出勤…。
2017年7月31日の記録
2017年7月31日 月曜日。
連休明けなのにとても疲れている。色々あって精神的にも崩れてしまい、不調な一日だった。
明日は始発で出勤、早朝から飛ばさなければならないので、一刻も早く寝ないとまずい。
というわけで今日は一題だけ。
＜高校への数学・日々のハイレベル演習（旧）＞ 問題7-31
立体の問題だが、まだ難しい部類ではない。
(2) BPをxなどとおいてAP,PH,AHをxで表し、AH^2=AP^2+PH^2 から方程式を解くことでxを求めるのが無難か。
(3) △PACを底面と見たときの高さが求められるかが急所。実は高さはHPなのだ。理由は以下の通り。
三辺相当により△HAP≡△HCP → ∠HPA=∠HPC → HP⊥PAかつHP⊥PB → HP⊥△PAC
「直線 l が平面 α と直交する条件は、直線 l が平面 α 内にある二本の直線と直交すること」という事実に基づいている。大学受験で多用する考え方である。
それではまた明日、気を取り直して頑張らないと。
2017年7月30日の記録
2017年7月30日 日曜日。
昨日が寝すぎだったため、今日は全く眠れなかった。何やってるんだか…。いい歳してこんな生活をしてしまう自分が本当に嫌い。
数か月ぶりに書店の東京出版コーナーを見てみたら、日々のハイレベル演習が全面改訂され、新作問題ベスト演習に続編が出ていた！！
何と高校受験用のハイレベル向け参考書は四冊になった。受験生はこれを全部（時間が許さなそうだが…）解けばかなりの実力がつくことだろう。
＜高校への数学・日々のハイレベル演習（旧）＞ 問題7-29（立体図形）
高さは体積を経由して求めることができる。知らなければ発想問題だが、この考え方は定石なのでちゃんと覚えておきたい。
＜高校への数学・日々のハイレベル演習（旧）＞ 問題7-30（立体図形）
切り口の図形は△DEFではない。想像すれば平面がAB上を通ることが分かるだろう。そこで平面とABとの交点をGとすると、切り口なのだからDEとGFは平行でなくてはならない。このことから BG=1,GF=2 となり、切り口の図形が等脚台形だったことが分かるわけだ。
明日から仕事再開。そろそろ寝よう。
2017年7月29日の記録
2017年7月29日 土曜日。
前日まで5連勤だったのと、肉体労働が中心だったことが重なり、思いのほか体力を削られていた。目が覚めたら昼過ぎで自己嫌悪に陥る。
＜高校への数学・日々のハイレベル演習＞ 問題7-26（円）
本質的な面白さはあまり分からないが、問題として良質と感じる。
(1) APが直径であることから∠AQPは90°で一定。よってAQはBCの垂線。さらにAB＝ACなのでQはBCの中点。
(2) この2つの三角形は典型的な相似形。
(3) 様々な相似あるいは方べきの定理、三平方の定理を用いれば、4辺の長さがすべてaで表現できる。あとは純粋に足し算すれば答えが出る。他方、△PBS∽△PCR∽△APQであることに気付いてしまえばもっと迅速に解決できる。
＜高校への数学・日々のハイレベル演習＞ 問題7-27（動く図形・動点の軌跡）
動点の軌跡の問題には2通りの方針がある。中学数学では前者、高校数学では後者が多用される。
（その1）定性的：図形の動く過程で全く変わらないものを見つけ、そこを起点にして考察を深める。
（その2）定量的：軌跡を作る点の座標を (X,Y) とおき、XとYの関係式を導く。その関係式が f(x,Y)=0 だったとすると、f(x,y)=0 が (X,Y) の軌跡の方程式となる。
本問では、(1) で何気なく登場した点Rが不動点（図形全体が動く過程で全く動かない点）になっている。そこでRを起点に考察する。すると、RQ=RA に気付く。RAはいつも4なので、RQもいつも4。つまりQはRを中心とする半径4の円周上を動くということが分かるのだ。
定量的にやるなら、Oを原点、ABに沿った直線をx軸、OCに沿った直線をy軸としてxy平面を設定し、Qを(X,Y)とおく。ここで例えばPを(4cosθ,4sinθ)とおき、X,Yをθで表してみる。すると複雑な式処理の末に X=4cos(θ+π/3)-2 , Y=4sin(θ+π/3)+2√3 となるので、cos^2(θ+π/3)+sin^2(θ+π/3)=1 からX,Yの関係式が得られる。この関係式が、前述の「Rを中心とする半径4の円」を意味しているわけだ。
＜高校への数学・日々のハイレベル演習＞ 問題7-28（動く図形・動点の軌跡）
これは有名問題のような気がする。
(1) どんな状況下でも△ACQと△PCBは合同になることから、PBとAQのなす角は60°（または120°）で不変。このことに注目して考察を深めると、∠ARBはいつも120°なのでRは円周上を動くことに気付く。
(2) ABを一辺とする大きな正三角形を作ると、Mは上部にできる対角線の交点になっているので、MからABに下ろした垂線の長さは不変。このことからMはABに平行な直線場を動くことが分かる。
ちなみにどちらも (その2) で解くことも可能だが、(1) が壮絶な計算を要する難問と化す。
今日はこれでおしまい。また明日。
2017年7月28日 第65期王座戦・挑戦者決定！
2017年7月28日 金曜日。
今回はちょっと毛色を変えて。「将棋の話」。
私が「観る将（観戦専門の将棋好き）」になったきっかけは、2013年の王座戦だった。
玄人（確か橋本崇載八段だったか？）をして、フルセットに渡る「五局すべてが名局」と言わしめた名勝負は、将棋の分からない私にも大変心に響くものがあった。
特に第四局には強烈な印象が残っている。
2勝1敗で王座奪還に王手をかけた中村太地がこの対局で勝利目前まで迫るも、羽生王座を仕留めきれない時間が延々と続く。栄冠に手が届きそうで届かず、もどかしく苦しそうに頭をかきむしる挑戦者。ゆらゆらと揺れながら盤面にすべてを捧げ思考し、ギリギリで耐え忍ぶ王座。しかしついに！ついに中村挑戦者が羽生王座を詰ましたぞ！…と思ったのだが、その攻め筋が何と「打ち歩詰め」と呼ばれる反則技に合流していたため断念せざるを得ず、ついには羽生王座に攻めをかわしきられて挑戦者の負けに。羽生王座がカド番を制し、タイトルの行方は最終局に持ち越された…というものだった。
対局の映像からにじみ出るオーラの凄まじさ。
素人目にもこれが「死闘」であると理解するのは極めて容易であった。
続いて第五局。羽生王座が冴えに冴え、AIの示す正解手と同じ手を放ち続ける圧巻の指し回し。終盤にて自らの負けを悟った中村太地六段の、長い間、中空をぼんやりと見つめる表情、今でも忘れない。すぐに投了してもよかったのだろうが、最高の棋譜を残すという美学からか、彼はそうしなかった。しばらく進め、羽生王座から角が放たれ、いよいよ自玉があらゆる方向からたくさんの駒に狙われんとするその瞬間を投了図に切り取って、彼は「負けました」と頭を下げたのだった。
数か月に及んだ「死闘」。その終わりはこんなにも静かで穏やかなんだな…。そう感じたのを覚えている。
同時に私は虜になった。
互いに盤に全神経を集中させて自分を表現し、最高の棋譜を残そうと頑張る彼らのひたむきな姿に。
彼ら自身はとても純粋で穏やかでユーモラスであることに。
ああ、数学と世界観が似ているな、好きになるのも当然か…みたいに思ったりもした。
…それから4年の月日がたった。
その間、将棋界が世間の注目を大きく集めるようになった。電王戦→3月のライオン・聖の青春→カンニング疑惑事件→藤井聡太四段 という段階を踏んで。
世界がどんなに複雑になっても、純粋で素直で美しい文化を人は普遍的に好み、欲するのだな、などと考えるとホッとする。とても嬉しい現象と思っている。
ところでなぜこんなに語るのか。
それは7月28日が今期王座戦の挑戦者決定戦で、挑戦者が中村太地六段に決まったからだ。先述の王座戦以来のタイトル挑戦となる。同じタイトル戦、同じタイトル保持者を相手にした生粋のリベンジマッチが今からとても楽しみだ。素晴らしい勝負になりますように。
2017年7月26日の記録。
2017年7月26日 水曜日。
午前中～昼は久しぶりの雨。気温も涼しかった。
明日（本日）も始発で出勤なので、さっと一問扱って寝たい。
＜高校への数学・日々のハイレベル演習＞ 問題7-25（円）
(1) 面積比を線分比に変換して解くだけで容易。
(2) 少なくとも3通りの解法がある。
① ACとBDが互いに直交する弦であるという特殊性を用いる。
→ Oから各弦に下ろした垂線の足が各弦の中点であることを利用。
② ∠ADBが30°だったという特殊性を用いる。
→ ∠AOB＝60°つまり△AOBが正三角形であることが分かるので、半径＝AB
③ AOのO側の延長と円との交点Qをとる。
→ △ABP∽△AQDとなるためAQ（＝円の直径）が求まる。この補助線は正弦定理の証明に役立つ。
たくさんの解法があり、学習効果の高い問題だったと思う。
では今日はこの辺で…。
