2017年7月29日の記録

2017年7月29日 土曜日。

前日まで5連勤だったのと、肉体労働が中心だったことが重なり、思いのほか体力を削られていた。目が覚めたら昼過ぎで自己嫌悪に陥る。

 

<高校への数学・日々のハイレベル演習> 問題7-26(円)

本質的な面白さはあまり分からないが、問題として良質と感じる。

(1) APが直径であることから∠AQPは90°で一定。よってAQはBCの垂線。さらにAB=ACなのでQはBCの中点。

(2) この2つの三角形は典型的な相似形。

(3) 様々な相似あるいは方べきの定理、三平方の定理を用いれば、4辺の長さがすべてaで表現できる。あとは純粋に足し算すれば答えが出る。他方、△PBS∽△PCR∽△APQであることに気付いてしまえばもっと迅速に解決できる。

 

<高校への数学・日々のハイレベル演習> 問題7-27(動く図形・動点の軌跡)

 動点の軌跡の問題には2通りの方針がある。中学数学では前者、高校数学では後者が多用される。

(その1)定性的:図形の動く過程で全く変わらないものを見つけ、そこを起点にして考察を深める。

(その2)定量的:軌跡を作る点の座標を (X,Y) とおき、XとYの関係式を導く。その関係式が f(x,Y)=0 だったとすると、f(x,y)=0 が (X,Y) の軌跡の方程式となる。

 本問では、(1) で何気なく登場した点Rが不動点(図形全体が動く過程で全く動かない点)になっている。そこでRを起点に考察する。すると、RQ=RA に気付く。RAはいつも4なので、RQもいつも4。つまりQはRを中心とする半径4の円周上を動くということが分かるのだ。

 定量的にやるなら、Oを原点、ABに沿った直線をx軸、OCに沿った直線をy軸としてxy平面を設定し、Qを(X,Y)とおく。ここで例えばPを(4cosθ,4sinθ)とおき、X,Yをθで表してみる。すると複雑な式処理の末に X=4cos(θ+π/3)-2 , Y=4sin(θ+π/3)+2√3 となるので、cos^2(θ+π/3)+sin^2(θ+π/3)=1 からX,Yの関係式が得られる。この関係式が、前述の「Rを中心とする半径4の円」を意味しているわけだ。

 

<高校への数学・日々のハイレベル演習> 問題7-28(動く図形・動点の軌跡)

 これは有名問題のような気がする。

(1) どんな状況下でも△ACQと△PCBは合同になることから、PBとAQのなす角は60°(または120°)で不変。このことに注目して考察を深めると、∠ARBはいつも120°なのでRは円周上を動くことに気付く。

(2) ABを一辺とする大きな正三角形を作ると、Mは上部にできる対角線の交点になっているので、MからABに下ろした垂線の長さは不変。このことからMはABに平行な直線場を動くことが分かる。

 ちなみにどちらも (その2) で解くことも可能だが、(1) が壮絶な計算を要する難問と化す。

 

今日はこれでおしまい。また明日。