2017年8月4日の記録

2017年8月4日 金曜日。

今日は仕事が休み。金曜日が休みというのはとても久しぶり。

ちょっとボヤいてみるが、毎週、休みの曜日が変わり、勤務時間帯も日によってまちまちなので、私生活のリズムが整わず、苦しい日々が続いている。まあ、社内には「週休二日が実現できてるだけで十分でしょ」的な風潮があるので何も言うつもりはないけれど。

というわけで最近はブログを更新する元気もなく、日があいてしまったが、数学は毎日解いてきた。自分の安らぎにつながっているので外せない。思い出に残ったものの感想を記す。

 

<高校への数学・日々のハイレベル演習(旧)> 問題8-1

 高校数学で二変数関数と呼ばれるものの値域を求める問題。重要なのは二変数の関係性である。

・従属二変数:片方の変数の値が決まるともう片方の変数の値も自動的に決まる関係にある二変数のこと。つまり二変数の間に関係式がある。

・独立二変数:片方の変数の値が決まったところで、もう片方の変数は気兼ねなく好きな値をとることができる二変数のこと。

(ア) これは独立二変数関数。3/2<3/a<6 と -2<-2b<6 という二つの不等式を足し合わせて、-1/2<3/a-2b<12 とする。この間に整数は12個あるので答えは12個。

(イ)、(ウ) これらは従属二変数関数。従属二変数関数には変数間の関係式が与えられているので、一変数関数にすることができる。独立二変数よりも機械的で易しい。

ちなみに(ア)はこのままでは議論が粗すぎる印象あり。最高で12個なのは間違いないが、本当に12個すべてOKなのか?というわけで本当は 3/a-2b=N(N=0,1,…,11)を満たすa,bが存在するかどうかを調べる必要があると思う(いわゆる逆像法)。まあ、ここまでやると高校数学になってしまうので、模範解答では省かれているのだが。

 

<高校への数学・日々のハイレベル演習(旧)> 問題8-3

(ア) 上に続き、三変数の問題。ただし関係式が二つあるので、実質一変数にできる。そこでy,zをxで表してやれば、与式=(27/5)x と書ける。後はx,y,zが整数であるという条件を用いれば結論に至る。

(イ) きれいな問題。P=x/(x+1) , Q=y/(y+1) などとおいて PQ=4/7 を式変形。整数問題は「積の形=定数」という変形を行うことが重要になるので、(3x-4)(3y-4)=28 という形までもっていければ解決となる。

 

大学への数学2017年8月号> 日々の演習8-4

 指数×cos(循環あり)の形をした数列の和について。

(1) cosの部分が値の循環を起こしているので、各項の具体的な数値を確認していくと規則性が発生していることが多い。今回ははじめから6項分を足すと0になるという規則性が発生している。このことから S_50=a_49+a_50 と分かる。

(2) 6項での循環が分かっているので、S_n の n が 6k-5~6k のそれぞれでどのような式で表されるかを考えるのが自然。面倒くさいが解決はできる。

 なお、指数×cos(循環あり)とか 指数×sin(循環あり)という形は極形式の n 乗との関連を疑うのも重要。今回の a_n=2^(n-1)cos{(n-1)/3}π であれば、α=2(cosπ/3+isinπ/3) を n-1 乗したときの実部が a_n である、と見る。そうすれば、S_n は 1+α+α^2+…+α^(n-1) の実部であるということになる。これより S_n=Re{1+α+α^2+…+α^(n-1)}=Re{α^(n-1)-1/α-1} として一気に計算することができる。6で割った余りに応じた場合分けが不要なわけだ。ちなみに |S_n| は n が3の倍数のとき0、3の倍数でないとき 2^(n-1) となる。めちゃくちゃきれいな式!!

 

今日は以上。明日も朝早い出勤…。